2021大連海事大學高等數學專業研究生考試大綱 正文

考試科目：高等數學
試卷滿分及考試時間：試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

考試內容：
一、函數、極限、連續 
（1）函數的定義及性質。
（2）數列極限與函數極限。
（3）函數的左極限與右極限。
（4）無窮小量和無窮大量 。
（5）極限存在的兩個準則(單調有界和夾逼準則)， 兩個重要極限。
（6）函數連續的概念及性質，閉區間上連續函數的性質。
 
二、一元函數微分學
  （1）導數和微分的概念， 函數的可導性與連續性之間的關系。
（2）導數和微分的四則運算，復合函數、反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的導數。
  （3）高階導數。 
  （4）微分中值定理。
   （5）洛必達法則。
  （6）函數單調性的判別。
（7）函數的極值，函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線。  
（8） 函數的最大值和最小值。

三、一元函數積分學
（1）原函數和不定積分的概念及不定積分的基本性質。
 （2）基本積分公式。
（3）定積分的概念和基本性質 。
（4）定積分中值定理、積分上限的函數及其導數 。
（5）不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法。 
（6）有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分 。
（7）反常(廣義)積分。
（8）定積分的應用。 

四、向量代數和空間解析幾何 
（1）向量的線性運算。 
（2）向量的數量積、向量積 、混合積 。
（3）兩向量垂直、平行的條件。
（4） 方向數與方向余弦。 
（5）曲面方程和空間曲線方程的概念 。
（6）平面方程、直線方程。
（7）平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直
的條件 、點到平面和點到直線的距離。 
（8）球面 、柱面 、旋轉曲面 。
（9）常用的二次曲面方程及其圖形。
（10）空間曲線的參數方程和一般方程 。
（11）空間曲線在坐標面上的投影曲線方程 。

五、多元函數微分學 
（1）多元函數的概念 。
（2）二元函數的極限與連續的概念。
（3）有界閉區域上多元連續函數的性質 。
（4）多元函數的偏導數和全微分 。
（5）全微分存在的必要條件和充分條件。 
（6）多元復合函數、隱函數的求導法 。
（7）二階偏導數 。
（8）方向導數和梯度。
（9）空間曲線的切線和法平面。 
（10）曲面的切平面和法線。 
（11）二元函數的二階泰勒公式 。
（12）多元函數的極值和條件極值。 
（13）多元函數的最大值、最小值及其簡單應用。 

六、多元函數積分學 
（1）二重積分與三重積分的概念、性質、計算和應用；兩類曲線積
     分的概念、性質及計算。
（2）兩類曲線積分的關系。
（3）平面曲線積分與路徑無關的條件。
（4）二元函數全微分的原函數。
（5）兩類曲面積分的概念、性質及計算。
（6）兩類曲面積分的關系。
 （7）格林(Green)公式 、高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式。
 （8）散度、旋度的概念及計算。
 （9）曲線積分和曲面積分的應用 。

七、無窮級數 
（1）常數項級數的收斂與發散的概念 。
（2）級數的基本性質與收斂的必要條件 。
（3）正項級數收斂性的判別法。 
（4）交錯級數與萊布尼茨定理 。
（5）任意項級數的絕對收斂與條件收斂 。
（6）函數項級數的收斂域與和函數的概念。 
（7）冪級數及其收斂半徑、收斂區間(指開區間)和收斂域。
（8）冪級數的和函數在其收斂區間內的基本性質。
（9）簡單冪級數的和函數的求法。
（10）初等函數的冪級數展開式。
（11）函數的傅里葉(Fourier)系數與傅里葉級數 。
（12）狄利克雷(Dirichlet)定理。
（13）函數在上的傅里葉級數函數在上的正弦級數和余弦級數。

 八、常微分方程 
 （1）常微分方程的基本概念。
 （2）變量可分離的微分方程、 齊次微分方程、 一階線性微分方
      程。
（3）伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程。 
（4）可降階的高階微分方程。 
（5）線性微分方程解的性質及解的結構定理 。
（6）二階常系數齊次線性微分方程 。
（7）高于二階的某些常系數齊次線性微分方程 。
（8）簡單的二階常系數非齊次線性微分方程 。

考試要求
一、函數、極限、連續 
（1）掌握函數的表示法，會建立應用問題的函數關系。
（2）了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性。 
（3）理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念。
（4）掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念。. 
（5）理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念以及函數極
     限存在與左、右極限之間的關系 。
（6）掌握極限的性質及四則運算法則。
（7）掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩
     個重要極限求極限的方法。

二、一元函數微分學
  （1）理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的
      幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的
      物理意義，理解函數的可導性與連續性之間的關系。
 （2）掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初
      等函數的導數公式。了解微分的四則運算法則和一階微分形式
      的不變性，會求函數的微分 
（3）了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數。 
（4）會求分段函數的導數，會求隱函數和由參數方程所確定的函數
     以及反函數的導數。
 （5）理解并會用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰
     勒(Taylor)定理，了解并會用柯西(Cauchy)中值定理。
（6）掌握用洛必達法則求未定式極限的方法 。
（7）理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數
     極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其應用。
 （8）會用導數判斷函數圖形的凹凸性，會求函數圖形的拐點以及水
     平、鉛直和斜漸近線，描繪函數的圖形。 
（9）了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑 。
三、一元函數積分學
（1）掌握不定積分的基本公式。
（2）掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積
     分法與分部積分法。 
（3）會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分。 
（4）理解積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓萊布尼茨公式。
（5）了解反常積分的概念，會計算反常積分 。
（6）掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量(平面圖形的面
     積、平面曲線的弧長、旋轉的體積及側面積、平行截面面積為
     已知的立體體積、功、引力、壓力、質心、形心等)及函數的平
     均值。 
四、向量代數和空間解析幾何 
（1）掌握向量的運算(線性運算、數量積、向量積、混合積)。
（2）了解兩個向量垂直、平行的條件 。
（3）理解單位向量、方向數與方向余弦、向量的坐標表達式，掌握
     用坐標表達式進行向量運算的方法。
（4）掌握平面方程和直線方程及其求法 。
（5）會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會
     利用平面、直線的相互關系(平行、垂直、相交等)解決有關問題 。
（6）會求點到直線以及點到平面的距離。 
（7）了解曲面方程和空間曲線方程的概念。 
（8）了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求簡單的柱面和旋轉曲
     面的方程 。
（9）了解空間曲線的參數方程和一般方程了解空間曲線在坐標平面
     上的投影，并會求該投影曲的方程。 
五、多元函數微分學
（1）了解二元函數的極限與連續的概念。
（2）有界閉區域上連續函數的性質 。
（3）理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微
     分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。 
（4）理解方向導數與梯度的概念，并掌握其計算方法 。
（5）掌握多元復合函數一階、二階偏導數的求法 。
（6）了解隱函數存在定理，會求多元隱函數的偏導數 。
（7）了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，
      會求它們的方程 。
（8）了解二元函數的二階泰勒公式。
（9）理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在
     的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函
     數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函
     數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題。 
六、多元函數積分學 
（1）理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質，了解二
     重積分的中值定理 。
（2）掌握二重積分的計算方法(直角坐標、極坐標)，會計算三重積分
     (直角坐標、柱面坐標、球坐標)。
（3）理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質及兩類曲
     線積分的關系。  
（4）掌握計算兩類曲線積分的方法 。
（5）掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關的條件，會求
     二元函數全微分的原函數。 
（6）了解兩類曲面積分的概念、性質及兩類曲面積分的關系，掌握
     計算兩類曲面積分的方法，掌握用高斯公式計算曲面積分的方
     法，并會用斯托克斯公式計算曲線積分 。
（7）了解散度與旋度的概念，并會計算 。
（8）會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量(平面
     圖形的面積、體積、曲面積、弧長、質量、質心、、形心、轉動
     慣量、引力、功及流量等).。  
七、無窮級數 
（1）理解常數項級數收斂、發散以及收斂級數的和的概念，掌握級
     數的基本性質及收斂的必要條件。 
（2）掌握幾何級數與級數的收斂與發散的條件。 
（3）掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判
     別法。 
（4）掌握交錯級數的萊布尼茨判別法 
（5）了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收
     斂的關系 。
（6）了解函數項級數的收斂域及和函數的概念 。
（7）理解冪級數收斂半徑的概念、并掌握冪級數的收斂半徑、收斂
     區間及收斂域的求法。   
（8）了解冪級數在其收斂區間內的基本性質(和函數的連續性、逐項
     求導和逐項積分)，會求一些冪級數在收斂區間內的和函數，并
     會由此求出某些數項級數。
（9）函數展開為泰勒級數的充分必要條件。 
（10）掌握及的麥克勞林(Maclaurin)展開式，會用它們將一些簡單函
      數間接展開成冪級數。
（11）了解傅里葉級數的概念和狄利克雷收斂定理，會將定義在上的
      函數展開為傅里葉級數，將定義在上的函數展開為正弦級數與
      余弦級數，會寫出傅里葉級數的和函數的表達式。 
八、常微分方程 
（1）了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念 。
（2）掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。 
（3）齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代
     換解某些微分方程 。
（4）會用降階法解下列形式的微分方程。 
（5）理解線性微分方程解的性質及解的結構。
（6）掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二
     階的常系數齊次線性微分方程。
（7）會解自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數以及它
     們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程。

?參閱：
《高等數學》 同濟大學應用數學系編 高等教育出版社 第七版

大連海事大學

本文來源：http://www.sacvlig.cn/dalianhaishi/cankaoshumu_366322.html