2022年內(nèi)蒙古師范大學(xué)復(fù)變函數(shù)論碩士研究生復(fù)試考研大綱 正文

學(xué)科、專業(yè)名稱：數(shù)學(xué)
復(fù)試科目：復(fù)變函數(shù)論
考試大綱
考試科目：復(fù)變函數(shù)
考試形式：閉卷、筆試。
試卷分?jǐn)?shù)及考試時間：試卷滿分為 100 分，考試時間為 120 分鐘。考試內(nèi)容：
1.復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)
掌握復(fù)數(shù)的各種表示方法及四則、乘冪、方根和共軛運算。了解區(qū)域的概念， 單連通域、多連通域的區(qū)分。了解曲線、光滑曲線、簡單閉曲線的定義，會用復(fù)數(shù)的方程式或不等式表示一些常見的平面曲線與區(qū)域。掌握復(fù)變函數(shù)的概念、復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)的定義，理解復(fù)變函數(shù)與兩個實二元函數(shù)間的關(guān)系，掌握復(fù)變函數(shù)極限的計算。
2.解析函數(shù)
理解復(fù)變函數(shù)可微與解析的概念.了解解析函數(shù)的一些簡單性質(zhì). 熟練掌握復(fù)變函數(shù)解析的判別方法，熟悉函數(shù)解析的充要條件.會判斷函數(shù)在一點或區(qū)域上的解析性.了解指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的定義及其主要性質(zhì)，了解雙曲函數(shù)的定義，掌握指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的計算，理解根式函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義及其主要性質(zhì)，了解反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)，掌握根式函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、一般冪函數(shù)與一般指數(shù)函數(shù)的計算。
3.復(fù)變函數(shù)的積分
理解復(fù)積分的概念.了解復(fù)積分的性質(zhì)，理解柯西積分定理及兩種推廣、柯西積分公式及其推論。掌握復(fù)變函數(shù)積分的計算方法（參數(shù)方程法、柯西積分定理、柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式、牛頓-萊布尼茲公式等），理解 Liouville定理及 Morera 定理，掌握解析函數(shù)的無窮可微性，掌握刻畫解析函數(shù)的兩個等價定理。理解調(diào)和函數(shù)與共軛調(diào)和函數(shù)的概念，掌握由調(diào)和函數(shù)與共軛調(diào)和函數(shù)構(gòu)成的解析函數(shù)的求法。
4.解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法
理解復(fù)級數(shù)收斂、發(fā)散及和的概念，理解解析函數(shù)項級數(shù)的 Weierstrass 定理，了解絕對收斂與條件收斂的概念，掌握復(fù)數(shù)項級數(shù)斂散性的判別方法，理解冪級數(shù)收斂圓與收斂半徑的概念及 Able 定理，掌握冪級數(shù)收斂半徑的求法， 理解泰勒定理，了解冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上的狀況，掌握將一個解析函數(shù)展為冪級數(shù)的基本方法，記住一些常用初等函數(shù)的泰勒展式，掌握具有 m 階零點的解析函數(shù)的表達(dá)式，會判斷解析函數(shù)零點的階，掌握孤立性及唯一性定理的應(yīng)用。
5.解析函數(shù)的洛朗(Laurent)展式與孤立奇點
理解 Laurent 級數(shù)的概念，了解 Laurent 級數(shù)與 Taylor 級數(shù)的關(guān)系，掌握利用已知的冪級數(shù)展式去求所需要的 Laurent 展式，理解孤立奇點的三種類型， 了解關(guān)于本性奇點的 Weierstrass 定理 Picard 大定理，掌握孤立奇點的求法， 并能確定它們的類型.掌握孤立奇點∞的類型的判定，了解整函數(shù)的分類. 理解亞純函數(shù)的概念，掌握整函數(shù)的概念。
6.留數(shù)理論及其應(yīng)用
理解留數(shù)的概念及柯西留數(shù)定理，了解函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)，掌握留數(shù)的計算方法，特別是函數(shù)在一、二階極點處留數(shù)的求法，掌握利用柯西留數(shù)定理計算復(fù)積分，理解積分路徑上有奇點的積分，掌握用留數(shù)定理計算實積分，掌握幅角原理和 Rouche 定理的應(yīng)用，特別是利用 Rouche 定理證明根的問題。
7.共形映射
理解共形映射的基本性質(zhì)，掌握共形映射構(gòu)造及其應(yīng)用。主要參考書目：
《復(fù)變函數(shù)論》(第三版).鐘玉泉編，高等教育出版社，2004 年 1 月.

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