2021陜西師范大學高等代數研究生考試大綱

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2021陜西師范大學高等代數研究生考試大綱 正文
陜西師范大學碩士研究生招生考試“826-高等代數”考試大綱
本《高等代數》考試大綱適用于陜西師范大學數學學科各專業碩士研究生招生考試. 高等代數是大學數學系本科學生基礎課程之一,也是大多數理工科專業學生的必修基礎課.它的主要內容包括多項式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、

一、考試的基本要求
要求考生比較系統地理解高等代數的基本概念和基本理論,掌握高等代數的基本思想和方法. 要求考生具有對高等代數這門課程的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力.
二、考試方法和考試時間
高等代數考試采用閉卷筆試形式,試卷滿分為150分,考試時間為180分鐘.
三、 考試內容
(一) 多項式
1. 數域及其性質.
2. 一元多項式及其運算.
3. 帶余除法;整除定義.
4. 最大公因式;輾轉相除法;互素.
5. 不可約多項式的定義和基本性質;因式分解定理.
6. k-重因式;重因式的判別和求法.
7. 多項式函數與根;多項式函數的有關性質.
8. 代數基本定理;復數域上多項式的因式分解;實數域上多項式的因式分解.
9. 本原多項式;Gauss引理.
10. 在整數集上的多項式的分解問題;艾森施坦因判別法;有理數域上多項式的有
理根.
(二) 行列式
1. 排列及其性質.
2.

3. 行列式的性質.
4. 行列式的計算方法.
5. 行列式的一行(列)展開.
6. 非齊次與齊次線性方程組;克蘭姆法則及有關定理.
7. k 級子式;k 級子式的代數余子式;拉普拉斯(Laplace)定理;行列式乘法法則.
(三) 線性方程組
1. 高斯消元法;消元法的矩陣表示;齊次線性方程組.
2. n維向量空間.
3. 線性相關;線性無關;向量組的秩.
4. 矩陣的秩;矩陣的秩的有關結論;矩陣秩的計算.
5. 線性方程組有解的判定定理.
6. 齊次線性方程組解的結構;一般線性方程組解的結構.
(四) 矩陣
1. 矩陣的運算.
2. 矩陣乘積的行列式;非退化矩陣;矩陣乘積的秩.
3. 可逆矩陣的判定及求法;逆矩陣的運算規律.
4. 分塊矩陣的運算.
5. 初等矩陣;等價矩陣;用初等變換求矩陣的逆.
6. 矩陣分塊乘法的初等變換.
(五) 二次型
1. 二次型的矩陣表示;非退化線性替換;矩陣的合同.
2. 二次型的標準形;配方法.
3. 復數域上的二次型的規范形;實數域上的二次型的規范形.
4. 正定二次型及其判定.
(六) 線性空間
1. 線性空間及其性質.
2. 維數;基與坐標.
3. 過渡矩陣及其性質;坐標變換公式.
4. 線性子空間及其判定;生成空間及其性質;基的擴充定理.
5. 子空間的交;子空間的和;維數公式;子空間的交與和的有關性質.
6. 直和及其判定;子空間的補;多個子空間的直和.
(七) 線性變換
1. 線性變換的簡單性質;有關例子.
2. 線性變換的運算;線性變換的逆;線性變換的多項式.
3. 線性變換的矩陣;原向量與像向量坐標之間關系.
4. 特征值與特征向量;特征子空間;特征多項式
5. 線性變換可對角化的概念;可對角化的條件;可對角化的一般方法.
6. 值域與核的有關性質.
7. 不變子空間;線性空間的直和分解.
8. 最小多項式的基本性質;幾類矩陣的最小多項式.
(八)

1. λ-矩陣及其性質;λ-矩陣的秩;可逆λ-矩陣.
2. λ-矩陣的初等變換;λ-矩陣的等價;標準形及其求法.
3. 行列式因子;不變因子及其求法.
4. 矩陣相似的條件;矩陣相似的幾個判定方法.
5. 初等因子與不變因子的區別與聯系;初等因子的求法.
6. 若當塊的初等因子;若當形矩陣的初等因子.
(九) 歐幾里得空間
1. 內積;歐氏空間;內積的基本性質;向量的夾角;度量矩陣及其性質.
2. 正交向量組;標準正交基及其性質;標準正交基的求法;正交矩陣.
3. 歐氏空間的同構;同構的基本性質;同構的判定方法.
4. 正交變換及其刻畫;正交變換的性質;正交變換的分類.
5. 正交子空間及其性質;正交補.
6. 實對稱矩陣及其性質;實對稱矩陣正交對角化.
四、掌握重點
(一) 多項式的整除理論.
(二) 最大公因式;輾轉相除法;互素.
(三) 一般數域上多項式的因式分解理論.
(四) 多項式函數.
(五) 復數域、實數域以及有理數域上多項式的因式分解.
(六) 行列式定義及計算.
(七) 矩陣的運算及其理論.
(八) 可逆矩陣及其應用.
(九) 分塊矩陣運算及其應用.
(十) 矩陣的秩及其應用.
(十一) 初等矩陣的概念及其性質.
(十二) 二次型的標準形理論.
(十三) 正定二次型及其應用.
(十四) 線性空間的概念及性質.
(十五) 子空間的概念及性質.
(十六) 子空間的運算及其性質.
(十七) 線性變換及其運算.
(十八) 線性變換的特征值理論及應用.
(十九) 線性變換的不變子空間及其應用.
(二十) 矩陣Jordan標準形的計算及其應用.
(二十一) 歐氏空間的概念及其性質.
(二十二) 正交變換及其性質.
(二十三) 對稱變換及其性質.
(二十四) 實對稱矩陣及其性質.
五、參考書目
[1] 北京大學數學系前代數小組編. 高等代數(第四版),高等教育出版社,2013.
[2] 李志慧,李永明. 高等代數中的典型問題與方法(第二版),科學出版社,2016.
陜西師范大學
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