2021中國石油大學（北京）數學分析研究生考試大綱 正文

碩士《數學分析》考試大綱

課程名稱：數學分析
科目代碼：661
適用專業：數學與應用數學專業 
參考書目：
1、《數學分析》（上下冊）第一版，陳紀修，於崇華，金路；高等教育出版社 1999.9
    2、《數學分析》（上下冊）第二版，陳紀修，於崇華，金路；高等教育出版社 2004.10
    3、《數學分析》（上下冊），卓里奇；高等教育出版社 2006.12
4、《數學分析》（上下冊），華東師范大學，高等教育出版社  2010.7
 
    一、數列極限
    1、充分認識實數系的連續性；理解并掌握確界存在定理及相關知識。
    2、充分理解數列極限的定義，熟練掌握用數列極限的定義證明有關極限問題，以及數列極限的各種性質及其運算。
    3、掌握無窮大量的概念及其相關知識；熟練掌握Stolz定理的內容及其結論及應用。
    4、理解單調有界數列收斂定理的內容及其結論，并能熟練解決相關的極限問題。
    5、充分理解區間套定理、致密性定理、完備性定理各自的內容和結論；進一步認識實數系的連續性與實數系的完備性的關系；明確有關收斂準則中的各定理之間邏輯關系。
    二、函數極限與連續函數
    1、充分理解函數極限的定義，熟練掌握用函數極限的定義證明有關極限問題；以及函數極限的各種性質及其運算。
    2、明確數列極限與函數極限的關系；熟練掌握單側極限以及各種極限過程的極限。
    3、充分理解連續函數的概念，熟練掌握用連續函數的定義和運算解決有關函數連續性問題。明確不連續點的類型；掌握反函數、復合函數的連續性。
    4、熟練掌握無窮小（大）量的概念以及自身的比較，并能熟練應用于極限問題當中。
    5、充分掌握閉區間上連續函數的各種性質；充分理解函數的一致連續性及相關定理。
    三、微分
    1、充分理解微分的概念、導數的概念，以及可微、可導、連續三者的關系。
    2、熟練掌握導數的運算、反函數、復合函數的求導法則，做到得心應手。
    3、理解高階導數和高階微分的概念，熟練掌握高階導數的運算法則。
    四、微分中值定理及其應用
    1、充分理解以Lagrange中值定理為核心的各微分中值定理的內容和結論；掌握應用微分中值定理揭示函數自身的特征和函數之間的關系。
    2、熟練掌握應用L’Hospital法則解決不定式的定值問題。
    3、熟練掌握Taylor公式，并能應用其解決極限等相關問題。
    4、熟練掌握有關函數曲線特征（單調、極值、拐點、凹凸及漸進線）的判定，并能準確地繪出函數曲線的圖形。能夠運用極值的概念分析并解決實際中的最值問題。
    五、不定積分
    1、理解并掌握不定積分的概念、性質；熟練掌握換元積分法、分部積分法，以及對有理函數、三角函數有理式、無理函數等積分問題，能夠做到解題自如。
    六、定積分
    1、充分理解定積分的概念及其基本性質；明確Darboux和與Riemann可積的條件。
    2、充分掌握微積分基本定理的內容和結論，明確微分與積分、不定積分與定積分之間的關系；熟練掌握各種定積分的求解問題。
    3、熟練掌握定積分在幾何學中的應用；以及微積分在相關專業學科中的應用。
    七、反常積分
    1、理解反常積分的概念，掌握反常積分的計算。
    2、明確反常積分的收斂問題，掌握反常積分各種情況下的收斂判別法。
    八、數項級數
    1、充分理解并掌握數項級數的概念和級數的基本性質；以及數列的上極限與下極限的概念和運算。
    2、熟練掌握正項級數、任意項級數、無窮乘積的概念及其斂散性的判別。
    九、函數項級數
    1、明確函數項級數的基本問題及其一致收斂性的問題；熟練掌握一致收斂級數的判別及其分析性質。
    2、熟練掌握冪級數的斂散性、函數的冪級數展開。
  十、Euclid空間上的極限與連續
    1、充分理解Euclid空間及其相關概念，明確Euclid空間上的基本定理。
    2、充分理解多元函數的極限定義，以及累次極限的概念；熟練掌握用極限定義及其各種性質及其運算證明或解決有關多元函數極限問題。
    3、充分理解多元函數的連續性，熟練掌握連續函數的有關性質。
    十一、多元函數微分學
    1、充分理解偏導數與全微分的概念，以及方向導數、梯度、高階導數和高階微分等概念；明確多元函數可微、可導、連續三者的關系。
    2、熟練掌握復合函數、隱函數的求導法則；明確一階微分的形式不變性，以及Taylor公式的概念及其計算；。
    3、熟練掌握偏導數在幾何中的應用；以及各種情況下極值的求解方法。
    十二、重積分
    1、充分理解重積分的概念及其基本性質；明確可積性問題。
    2、熟練掌握各種區域上的重積分計算，以及用變量替換解決有關重積分的計算問題。
    3、熟練掌握反常重積分的概念及其計算；明確微分形式及相關概念，熟練掌握其計算問題。
    十三、曲線積分、曲面積分
    1、充分理解曲線積分的概念，熟練掌握兩類曲線積分的計算及其聯系。
    2、充分理解曲面積分的概念，熟練掌握兩類曲面積分的計算及其聯系。
    3、明確各種積分的聯系，熟練掌握Green公式、Gauss公式和Stokes公式的內涵及應用；明確曲線積分與路徑無關的條件及其應用。
    十四、含參變量積分
    1、充分理解含參變量的常義積分及其性質；并熟悉它的有關計算。
    2、充分理解含參變量的反常積分及其一致收斂性；并熟悉它的判別方法和一致收斂積分的性質。
    3、熟練掌握Euler積分的概念及其計算；明確Beta函數、Gammer函數的關系。
  十五、Fourier級數
    1、明確三角級數、Fourier級數的概念及其關系；熟練掌握各類函數的Fourier級數展開。
    2、明確Dirichlid積分的含義；充分理解Riemann引理及局部性原理；熟練掌握Fourier級數的收斂判別法。
    3、明確Fourier級數的各有關性質，并熟練掌握。
    4、熟悉并掌握Fourier變換和Fourier積分；明確Fourier變換的逆變換及其性質。
   
 

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