2022年重慶郵電大學理學院碩士研究生考試《實變函數》大綱及參考書目

發布時間：2021-09-02 編輯：考研派小莉推薦訪問：

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2022年重慶郵電大學理學院碩士研究生考試《實變函數》大綱及參考書目正文

《實變函數（J061）》考試大綱

命題方式	招生單位自命題	科目類別	加試
滿分	100
考試性質同等學力加試
考試方式和考試時間
試卷結構試卷內容結構集合論約 20％測度論約 20% 積分論約 30％微分與不定積分約 30% 試卷題型結構單項選擇題填空題解答題（包括證明題）
考試內容和要求第一章集合 1. 知識點:集合的概念和運算，對等與基數，可數與不可數集合，曹恩引理 2. 考核要求: 1）掌握集合交，并、余等運算和上、下極限的定義和基本運算；2）熟練掌握集合的對等的定義與性質；能熟練應用伯恩斯坦（Bernstein）定理證明集合的對等關系；3）理解基數的定義；掌握可數集與不可數集的性質，會判斷給定的集合是否可數。第二章點集 1. 知識點：度量空間，聚點、內點和界點，開集、閉集、完備集極其構造。 2. 考核要求：1）理解和掌握度量空間的定義，鄰域的性質，有界點集的定義和 n 維區間的體積；2）熟練掌握 n 維區間點的關系，聚點、內點和界點的定義聚點與等價條件；3）掌握開核、邊界和導集的概念和性質極其相互關系；4）理解和掌握開集、閉集和完備集的性質；5）理解開集的構成區間與余區間，了解開集、閉集的構造；熟練掌握康托爾集的構成和性質。第三章測度論 1. 知識點: 約當測度，Lebesgue 外測度和內測度，可測集 2. 考核要求: 1）測度的定義和性質；2）掌握 Lebesgue 外測度和內測度的定義和基本性質；3）熟練掌握Caratheodory 給出可測集的定義及可測集的基本運算性質；4）掌握零測集的性質；開集、閉集的可測性； 5）約當測度與 Lebesgue 測度的關系；6）了解特殊的兩類集合，波雷耳集。第四章可測函數 1. 知識點：可測函數及其性質，幾乎處處收斂，葉果洛夫定理，依測度收斂。 2. 考核要求：1）熟練掌握可測函數及其四則運算，可測函數與簡單函數的關系，幾乎處處成立的概念； 2）理解葉果洛夫定理； 3）理解并掌握魯津定理及其逆定理；4）熟練掌握依測度收斂的定義，幾乎處處收斂與依測度收斂的幾個反例，Riese 定理和 Lebesgue 收斂定理

第五章積分論
1. 知識點：Riemann 積分，勒貝格積分的定義，勒貝格積分的性質，一般可積函數，積分的極限定理
2. 考核要求：1）了解由確界式定義的 Riemann 積分，及 Riemann 積分的缺陷；
2）理解勒貝格積分的定義，掌握可積的兩個充要條件；可積的四則運算，勒貝格積分與 Riemann 積分的關系；3）熟練掌握勒貝格積分的基本性質和絕對連續性； 4）熟練掌握一般可積函數的 L 積分的定義和初等性質。5）牢記勒貝格控制收斂定理，列維定理，L 逐項積分定理，積分的可數可加性，Fatou 引理及有關積分與求導交換的定理。
第六章微分與不定積分
1. 知識點：單調函數的可微性，有界變差函數，不定積分，斯蒂爾切斯（Stieltjes）積分
2. 考核要求：1）理解單調函數不連續點集的特點，掌握單調函數的微分定理。 2）掌握有界變差函數的定義及性質。3）深入理解單調函數與有界變差函數的關系。 4）理解絕對連續函數定義與性質，以及它與有界變差函數的關系。 5）掌握領會 L 積分意義下的牛頓一萊布尼茲公式，掌握絕對連續函數與不定積分之間的關系。 6）了解黎曼-斯蒂爾切斯積分與勒貝格-斯蒂爾切斯測度與積分概念。

參考書目
1、程其襄等編，實變函數與泛函分析基礎（第三版），高等教育出版社，2009.
2、鄭維行、王聲望，實變函數與泛函分析概要，高等教育出版社 2002.

備注

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